LA EXISTENCIA DE SOLUCIONES DÉBILES PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELÍPTICAS VÍA EL TEOREMA DE LAX–MILGRAM
Resumen
Este artículo aborda la teoría de soluciones débiles para ecuaciones diferenciales parciales (EDP) elípticas lineales, aplicando el Teorema de Lax–Milgram como herramienta central del Análisis Funcional. Ante las restricciones impuestas por las formulaciones clásicas, resulta natural recurrir a los espacios de Lebesgue y de Sobolev, donde las soluciones se entienden en sentido débil, permitiendo estudiar problemas cuyas derivadas no existen clásicamente. Se presentan los conceptos básicos de los espacios funcionales, con énfasis en Hilbert y Sobolev y en la desigualdad de Poincaré, esencial para la coercividad de formas bilineales asociadas a operadores elípticos. Con base en el Teorema de Representación de Riesz, se demuestra el Teorema de Lax–Milgram y se analizan las condiciones de continuidad y coercividad necesarias para existencia y unicidad de soluciones débiles en problemas variacionales. La metodología utilizada consistió en una revisión bibliográfica deductiva, estructurada en tres etapas: estudio de los espacios funcionales, desigualdad de Poincaré y formulación variacional, y el uso de dicho teorema para caracterizar problemas bien planteados en el sentido de Hadamard. También se obtuvieron estimaciones a priori, fundamentales para el control y la estabilidad de las soluciones. Como resultado, se verificó que el Teorema de Lax–Milgram constituye un método riguroso para garantizar la existencia y unicidad de soluciones débiles de EDP elípticas lineales. Su aplicación al problema de Poisson confirmó la eficacia de la formulación variacional y de los métodos funcionales en el análisis de EDP.
Biografía del autor/a
Doctor en Ciencias Pedagógicas por la Universidade de Ciências Pedagógicas Enrique José Varona (UCPEJV), Cuba. Área de especialización: Análisis Matemático con Integración de las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Magíster en Matemática Pura por la Universidade de Cabo Verde, Facultad de Ciencias y Tecnología (FCT), en convenio con la Universidade de Coimbra, Portugal. Área de especialización: Ecuaciones en Derivadas Parciales. Docente universitario y jefe del Departamento de Ciencias Naturales y Ciencias Exactas del Instituto Superior de Ciências de Educação de Cabinda (ISCED) de Cabinda, Angola.
Referencias
AMBROSIO, Luigi; DA PRATO, Giuseppe; MENNUCCI, Andrea. Introduction to measure theory and integration. Pisa: Edizioni della Normale, 2011.
BEZERRA, Paulo Vinícius Dantas. Uma introdução ao Teorema de Lax-Milgram. 2025. Monografia (Graduação em Matemática) — Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Caicó, RN, jan. 2025.
BREZIS, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer, 2011.
CENTURION, Bruna Zampieri. O teorema de Lax-Milgram. Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, v. 22, n. 1, jul. 2022. ISSN 2316-9664.
EVANS, Lawrence C. Partial differential equations. 2. ed. Providence: American Mathematical Society, 2010. (Graduate Studies in Mathematics, v. 19).
GILBARG, David; TRUDINGER, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer, 2001.
KREYSZIG, Erwin. Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons, 1978.
MARANGONI, Ana Laura Mendonça. Teoremas clássicos de análise funcional. 2021. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Matemática) — Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG, 2021.
PÉREZ, Miguel López. El teorema de Lax-Milgram: origen, generalizaciones y aplicaciones. 2017. Trabajo de Fin de Grado (Grado en Matemáticas) — Universidad de Granada, Facultad de Ciencias, Granada, jun. 2017.
PIMENTEL, Edgard Almeida. Elliptic regularity theory by approximation methods. Coimbra: University of Coimbra, 2022. ISBN 978-1-009-09666-9 DOI: https://doi.org/10.1017/9781009099899
RUDIN, Walter. Real and complex analysis. 3. ed. New York: McGraw-Hill Book Company, 1987.
SILVA, João Felipe Fonseca da. O teorema de Lax-Milgram e aplicações. 2014. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) — Universidade Federal do Amapá, Macapá, 2014.
SILVA, Mauro Viegas da. Os teoremas de índice de Poincaré. 2011. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2011.
SMIGLY, Douglas de Araujo. Análise funcional: MAT0334 / MAT5721. Notas de aula, 1º semestre de 2019. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019.
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