A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES FRACAS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ELÍPTICAS VIA TEOREMA DE LAX-MILGRAM
Resumo
Este artigo aborda a teoria de soluções fracas para equações diferenciais parciais (EDPs) elípticas lineares, aplicando o Teorema de Lax–Milgram como ferramenta central da Análise Funcional. Diante das restrições impostas pelas formulações clássicas, torna-se natural recorrer aos espaços de Lebesgue e de Sobolev, nos quais as soluções são compreendidas em um sentido fraco, possibilitando o estudo de problemas cujas derivadas não existem no sentido clássico. Inicialmente, apresentam-se os conceitos basilares dos espaços funcionais envolvidos, com enfâse nos espaços de Hilbert e Sobolev e na desigualdade de Poincaré, essencial à obtenção da coercividade das formas bilineares associadas aos operadores elípticos. Em seguida, com base no Teorema de Representação de Riesz, demonstra-se o Teorema de Lax–Milgram e analisam-se as condições de continuidade e coercividade necessárias à existência e unicidade de soluções fracas em problemas variacionais. A metodologia utilizada consistiu na revisão bibliográfica de abordagem dedutiva, estruturada em três etapas: estudo dos espaços funcionais; desigualdade de Poincaré e formulação variacional; e a utilização desse Teorema à caracterização de problemas bem-postos no sentido de Hadamard. Também foram obtidas estimativas a priori, fundamentais para o controle e a estabilidade das soluções. Como resultado, verificou-se que o Teorema de Lax–Milgram constitui um método rigoroso para garantir a existência e a unicidade de soluções fracas de EDPs elípticas lineares. A sua aplicação ao problema de Poisson confirmou a eficácia da formulação variacional e dos métodos funcionais na análise de EDPs.
Biografia do Autor
Doutor em Ciências Pedagógicas, pela Universidade de Ciências Pedagógicas Enrique José Varona (UCPEJV), Cuba. Área de Especialidade: Análise Matemática com Integração das Tecnologias de Informação e Comunicação. Mestre em Matemática Pura, pela Universidade de Cabo Verde, Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT), convénio com a Universidade de Coimbra, Portugal. Área de Especialidade: Equações Com Derivadas Parciais. Docente universitário e chefe de Departamento de Ciências da Natureza e Ciências Exatas do Instituto Superior de Ciências de Educação (ISCED) de Cabinda /Angola.
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